Nasce nella cittadina di Montegiorgio nel maggio del 1637. Dopo i primi studi, all'età di dodici anni, i suoi genitori lo indirizzarono nella bottega della "speziale" locale, che si occupava della preparazione dei medicinali e della loro vendita. Nel 1650 venne mandato a Roma da un altro speziale per affinare le sue già notevoli peculiarità. Sei anni dopo giunse a Livorno, dove avviò dei contatti nel campo della prima farmaceutica. Nella città toscana divenne un importante esponente di questa scienza, per un breve periodo viaggiò anche in Francia, paese all'avanguardia nel campo, ed in Svizzera. Terminato la sua permanenza all'estero, ritornò a Livorno dove era titolare di una "spezieria". Stimatissimo dai suoi concittadini, per i suoi meriti il Granduca di Toscana Ferdinando II De Medici lo nominò "Protospeziale". Mantenne contatti epistolari con importanti dottori e scienziati del tempo, come Marcello Malpighi, Francesco Redi e Antonio Vallisneri, con loro scambiava idee ed esperienze, abitudine saggia e lungimirante questa, in quanto salvò il Cestoni da eventuali accuse di esponenti della medicina ufficiale: Giacinto infatti era in larga parte autodidatta e privo di titolo accademico. L'epistolario del naturalista di Montegiorgio fu raccolto e pubblicato secoli dopo dal medico e chirurgo nativo di Belmonte Piceno Silvestro Baglioni.
Uno dei principali meriti del Cestoni fu di aver osservato attentamente la natura e i molteplici fenomeni naturali, studiò la scabbia, vero flagello nel Seicento, e comprese che essa non insorge spontaneamente ma a causa dell'acaro. Aprendogli quindi la strada agli studi sull'origine parassitaria delle malattie contagiose, questa scoperta del Cestoni fu pubblicata a firma del medico livornese Giovanni Cosimo Bonomo, ma si scontrò con la tesi di un altro luminare di quei tempi, il romano Lancisi.
Nel corso dei secoli sono stati scritti molti testi e la sua opera è stata analizzata sotto vari aspetti; una parola autorevole e certamente definitiva è quella contenuta nella pubblicazione del dott. Italo D'Angelo, stimato medico chirurgo specializzato in Dermatologia, autore di ben 235 lavori scientifici, che attesta come lo "speziale" Cestoni sia stato un valente esperto di questa materia.
Onorato sia dalla sua Montegiorgio, che gli intitolò una strada e la scuola media statale, che dalla città dove visse molti anni, Livorno, qui si spense nel gennaio del 1718; vi sono a lui dedicati una via e l'acquario comunale. Dal 2002 il comune della cittadina natale, in collaborazione con l'Università di Camerino, conferisce un premio biennale per le migliori tesi di laurea sperimentali in Farmacia e Chimica e Tecnologia Farmaceutica, e in Medicina Veterinaria.