Nasce a Montemonaco nell'aprile del 1784.
Suo padre Domenico era il medico condotto del paese, mentre sua madre Elisabetta Foglietti proveniva da una nobile famiglia, ben presto la famiglia si trasferisce a Comunanza.
Nel suo percorso formativo Angelo ebbe la fortuna di incontrare come maestro, l'avvocato Teodoro Ercolani che lo iniziò allo studio della Giurisprudenza, ed i fratelli Raffaele e Gaetano De Mincis, che probabilmente avviarono Cinagli alla collezione numismatica. Si laurea in Legge nel giugno del 1818 a Macerata, impiegando un tempo decisamente superiore a quello normalmente previsto, ritardo dovuto non a una negligenza negli studi, ma dalle disposizioni napoleoniche che imponevano il proseguimento degli studi superiori, solo nelle università di Bologna, Padova e Pavia. Pochi mesi dopo si trasferirà a Roma presso lo studio legale dell'Avvocato Domenico Maroni, noto penalista, ma si accorge che l'avvocatura non lo appassionava, cercò quindi altre occupazioni nel pubblico impiego. Inizia a lavorare in qualità di collaboratore nell'Istituto delle dotazioni delle corporazioni religiose, successivamente è assunto dallo Stato Pontificio e ricopre l'incarico di amministrazione camerale e cassiere. Nell'ottobre del 1821 venne proposto dal sindaco di Comunanza come agente in Roma, per la tutela degli interessi del suo paese, presso la Santa Sede.
Con l'incarico a Roma Cinagli era sempre in contatto con il denaro dello stato, monete di tutti i tipi e di tutte le epoche transitavano dalle sue mani, tale attività risvegliò in lui gli interessi numismatico che aveva coltivato negli anni giovanili. Incominciò allora a ricercare ed a studiare sopratutto le monete fuori corso, diventando un esperto numismatico. Per i suoi impegni fu costretto a trasferirsi ad Ancona, Macerata, Civitavecchia e poi a Fermo, Le sedi di lavoro furono l'occasione per coltivare conoscenze e per ampliare i suoi orizzonti numismatici confrontandosi con altri appassionati cultori di questa disciplina. A Fermo ritrovò i suoi amici, i De Mincis, con i quali intrattenne rapporti culturali sempre più stretti, perfezionando le sue notevoli doti che cominciarono ad essere apprezzate. Maturò l'idea di pubblicare tutte le sue ricerche, condotte sempre con costanza e meticolosità, cercò inizialmente finanziamenti anche in Vaticano, ma non trovò persone disposte all'investimento. Inoltrò una richiesta al pontefice Gregorio XVI, inviandogli due copie del materiale da pubblicare e chiedendo la sua disponibilità ad accettare una dedica, il Papa accettò volentieri il dono, ma rifiutò che gli venisse dedicata l'opera, motivando il rifiuto con il fatto che andava contro i suoi principi. Si rivolse allora al Cardinale Antonio Tosti, anche perché aveva avuto con lui frequenti contatti durante la sua attività di amministratore, ma anche in questo caso l'appello cadde nel vuoto. Vi furono purtroppo altri rifiuti, ma non si scoraggiò e procedette quindi alla pubblicazione, accollandosi l'intera operazione finanziaria, nel 1848 uscì "Le monete dei Papi descritte e Tavole sinottiche". Tre anni dopo nel 1851, Angelo si spegneva prematuramente a Comunanza, non avendo famiglia i suoi eredi vendettero le sue collezioni.
Se prima della pubblicazione in pochi avevano creduto nella qualità del suo lavoro, dopo l'uscita del libro numerosi furono gli attestati di stima. Il numismatico milanese Gola nel 1856, la definì"La più completa ed erudita raccolta della monete papali che si conosca", l'opera che copre un periodo di circa undici secoli, esamina 7597 monete di cui 3374 del tutto inedite, numeri che evidenziano un lavoro certosino ed attento. Oggi viene considerato un grande numismatico; il Professor Roberto Rossi, esperto del settore, in occasione del bicentenario della nascita, gli dedicò un'accorata biografia che ha portato a far conoscere la sua opera ad un pubblico più ampio.