Nato nel piccolo borgo di Force nel maggio del 1847, da una famiglia di musicisti suo padre Pietro era Maestro di Cappella e direttore della banda, incarichi ricoperti a Force dal 1846 al 1852. I suoi primi insegnamenti furono impartiti dal genitore, poi si trasferì a Senigallia e fu seguito dal rinomato Maestro Vincenzo Tabellini. Nel 1869 Orfeo superò brillantemente gli esami di licenza presso il Liceo di Bologna. Tornato nelle Marche divenne Maestro di Cappella e direttore di banda ad Offida.
Nel 1888 Livi vinse la Cattedra di Professore di pianoforte complementare presso il prestigioso Liceo Musicale di Santa Cecilia a Roma. Oltre ad essere un ottimo insegnante, fu anche un valente pianista e raffinato compositore. Persona di rara modestia Livi fu socio onorario della Società Filarmonica Ascolana che in varie occasioni, fece eseguire le sue composizioni, come "L'Orfanella", "Schiava!", "Speme" e "Desio sull'Appennino". Probabilmente morì a roma dopo il 1884.