Nato nel comune di Rotella nel 1887 da una famiglia di modeste condizioni.
Grazie alle sue buone doti di studente, riesce ad iscriversi all'università di Camerino dove si laurea in Farmacia nel 1909, in seguito si stabilisce ad Ancona dove, dopo il servizio di leva, lavorerà nella farmacia notturna cittadina. Si arruola al corso per allievi ufficiali farmacisti presso l'ospedale militare di Torino e promosso Sottotenente medico, viene trasferito alla farmacia militare di Novara. Poco tempo dopo torna ad Ancona, all'ospedale militare della città dorica, riprendendo a lavorare presso la farmacia notturna; si congeda nel 1912 e con diversi sacrifici, rileva una farmacia anconetana. Inizia a produrre farmaci con discreto successo tanto che riesce in qualche anno ad estinguere i debiti, ma con l'entrata i guerra dell'Italia nel 1915, viene arruolato come ufficiale farmacista negli ospedali militari e da campo. Durante il primo conflitto mondiale nota il pessimo stato dell'industria farmaceutica italiana rispetto agli altri paesi europei, a guerra finita torna ad Ancona e riprende a lavorare nella sua farmacia, continua anche a preparare medicinali ampliando il laboratorio ed assoldando personale, fonda quindi la A.C.R.A.F. (Aziende Chimiche Riunite Angelini Francesco). Si interessa anche alla politica iscrivendosi al Partito Repubblicano e presentandosi alle elezioni del 1920, viene eletto consigliere comunale e nel 1921 diventa assessore all'igiene. Con l'ascesa del fascismo, nel 1924 si ritira dalla vita pubblica e dedicandosi solo all'attività farmaceutica, portando la produzione ai livelli industriali tanto che sarà necessario trasferirla in uno stabilimento più ampio. Nel 1926 viene affiancata dalle Industrie Chimiche Italia centrale (ICIC), specializzata nel settore degli oli vegetali che acquista diversi terreni in zona per coltivare il ricino dal quale si ricava l'olio, utile sia come elemento farmaceutico che come lubrificante. Infatti buona parte era venduta al Ministero dell'Aeronautica che lo impiega per gli aerei.
Si mantiene neutrale rispetto al fascismo ma riesce comunque sfruttare la crescita industriale del periodo a favore della sua azienda, aumentando la produzione, il personale e sviluppando la ricerca di nuovi farmaci. Con la Seconda Guerra Mondiale è costretto ad aumentare la produzione per venire incontro alle incessanti richieste di medicinali da parte del fronte. Quando il conflitto si sposterà in Italia, Ancona sarà bombardata ed anche gli stabilimenti di Angelini subiranno gravi danni; sarà costretto a spostare la produzione nel vicino centro di Castelferretti, continuando la produzione fino alla fine della guerra.
Nel 1945 ricostruisce l'azienda ad Ancona grazie a un grande prestito bancario, caduto il regime si riaffaccia alla politica e l'anno seguente si fa eleggere come consigliere comunale, si presenta come sindaco negli scrutini del 1949 dove risulta eletto, rimanendo in carica qualche mese. Viene quindi ricordato negli annali anconetani come il "Sindaco della Ricostruzione". Nel 1950 riesce a guadagnare abbastanza denaro da espandersi, investe in altri rami del settore chimico e farmaceutico, fondando diverse società in molte regioni d'Italia. Nel 1952 riceve l'onorificenza di "Cavaliere del Lavoro" al quale seguiranno altri riconoscimenti da parte della Repubblica; viene rieletto sindaco nel 1956 ed ancora nel 1964 ma muore poco dopo.
Oggi l'industria da lui fondata è uno dei più importanti marchi farmaceutici europei.