Nasce a Fermo nel 1828. Frequenta per pochi anni gli studi ecclesiastici, ma finisce per scoprire la musica, ed in particolare il canto, sotto la guida del professore Cellini, titolare della Cappella Musicale della città. Molto portato per la carriera artistica, Francesco viene notato da un importante impresario che lo farà esibire nei maggiori teatri in Italia e nel mondo: Milano, Napoli, Venezia, Roma, Parigi, Londra e Il Cairo. Fu insieme al Cotogni e il Faure uno dei maggiori baritoni del suo tempo, capace di notevoli impennate virtuosistiche, ma anche di slanci travolgenti; spiccò nelle opere verdiane, come il Trovatore e il Rigoletto, eccelso nell'Ernani e nella Traviata, fu anche il primo a dare risalto al personaggio del vecchio "Germont". Osannato dai suoi colleghi e dalla critica, Graziani passava con naturalezza da un repertorio lirico, al drammatico, al comico, spaziava dal repertorio di Verdi a Mozart a Bellini, Rossini e ai più grandi compositori lirici. Leggenda narra che il Graziani possedeva una straordinaria memoria che gli permetteva di cantare con naturalezza anche opere non eseguite da tempo. Particolarmente caro al grande Giuseppe Verdi, che per primo enfantizzò il ruolo baritonale, ricercato da molte corti europee, fu invitato a cantore nei saloni delle sontuose dimore di facoltosi banchieri, come i Rotchild a Parigi, o Lord Major a Londra. Fu anche chiamato da Napoleone III, il Principe di Galles e dallo Zar Alessandro II, che lo fece arrivare a San Pietroburgo solo per i suoi incredibili meriti artistici, infatti il Graziani era un fervente repubblicano, amico personale di Mazzini, conosciuto in esilio a Londra. Oltre alla sua carriera artistica, Francesco si dedicò alla causa risorgimentale: nonostante i continui impegni professionali si teneva in contatto con i patrioti esiliati e con loro cercò di raggiungere l'agognata meta della riunificazione italiana. Nel corso del 1860 le milizie volontarie garibaldine avevano estremamente bisogno di oltre mille fucili; Mazzini, il Generale Garibaldi e il patriota La Farina non riuscivano a trovare i fondi necessari: solo l'intervento del Graziani risolse l'annosa questione, concedendo la considerevole somma di 100000 lire, come riportato da fonti risorgimentali autorevoli. Affiliato alla Giovine Italia e alla massoneria nelle frequentazioni parigine, diventa intimo amico di Felice Orsini, valoroso patriota, che difese in un caffè di Parigi dagli insulti dei francesi. Figura di straordinaria varietà, geniale artista, fu anche benefattore: molte furono le opere di filantropia. Tornò nella sua amata Grottazzolina, dove possedeva una villa, quando si ritirò dalle scene, diventando prima assessore, poi sindaco nel 1895, fino alla sua scomparsa nel 1901, carica ricoperta con onestà capacità e rettitudine.